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By Burkhard Külshammer

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8 Sei E ein endlicher Körper und |E| = pe mit einer Primzahl p und einer natürlichen Zahl e. (i) Ist F ⊆ E Teilkörper, so ist |F| = pf für ein f ∈ N mit f | e. (ii) Umgekehrt existiert zu jedem positiven Teiler f ∈ N von e genau ein Teilkörper f F ⊆ E mit |F| = pf , nämlich F := b ∈ E bp = b . B EWEIS : (i) Sei F ⊆ E Teilkörper. Dann ist p = char(E) = char(F), also |F| = pf für ein f ∈ N. Sei n := [E : F]. Dann ist E als F-Vektorraum isomorph zu Fn . Insbesondere haben wir pe = |E| = |F|n = (pf )n , d.

N. Da a1 , . . , am linear unabhängig über K sind, folgt tij = 0 für alle i, j. ) Seien K, L Körper. Eine Abbildung f : K → L mit f(a + b) = f(a) + f(b) und f(a + b) = f(a) · f(b) für a, b ∈ K und f(1) = 1 nennt man Homomorphismus (von Körpern). Wie üblich definiert man Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphismus (von Körpern). 6 (i) Für Körper K, L, M und Homomorphismus f : K → L, g : L → M ist auch g ◦ f : K → M ein Homomorphismus. (ii) Ist f : K → L ein Isomorphismus, so auch f−1 : L → K.

Folglich haben wir eine invertierbare Restklasse α + (ϕ) ∈ U(K[X]/(ϕ)) = K[X]/(ϕ) \ {0}. Da alle Elemente invertierbar sind, ist K[X]/(ϕ) Körper. 1 Sei p ∈ P und n ∈ N. Um einen Körper mit pn Elementen zu konstruieren, genügt es also, ein irreduzibles Polynom vom Grad n im Polynomring Fp [X] zu finden. Wir werden später sehen, dass dies für alle p, n geht. Im Fall p = 2, n = 3 ist z. B. ϕ = X3 + X + 1 irreduzibel in F2 [X]. Denn sonst wäre ϕ = (X − a)(X2 + bX + c) mit a, b, c ∈ F2 . Also ϕ(a) = 0.

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by Steven
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